Как рассчитать прогиб при нагрузке на балку?

Сложно представить себе начало строительства здания без предварительных расчетов главных элементов, которые несут на себе нагрузку и отвечают за надежность и долговечность всей конструкции. Одним из основных составляющих является балка. Она представляет собой элемент несущих строительных конструкций, который опирается на оба своих конца, и основную нагрузку принимает в месте, равномерно удаленном от обеих опор, то есть строго посередине.

Среди обязательных расчетов, которые необходимо выполнить для подбора размеров деревянной балки для перекрытий, первое место занимает проверка конструкции на прогиб, затем расчет на жесткость, и определение угла поворота ее сечения в зависимости от изгиба. Не вычислив любой из этих показателей, невозможно дать абсолютно никакой гарантии в том, что пролет выдержит ту нагрузку, которая на него ложится. Поэтому, если вы собираетесь, используя калькулятор, собственноручно рассчитать количество древесины, толщину перекрытия, требуемую прочность, значение прогиба, распределенной на опорах нагрузки и угла поворота, но при этом решили сэкономить деньги на проведении вычислений профессионалами, следует ознакомиться с основными методами, позволяющими с относительной легкостью выполнить эту процедуру самостоятельно.

Расчет на прогиб

Балки из дерева

Для определения прогиба деревянного перекрытия необходимо получить данные, на которые будет опираться расчет. Исходя из массы и размеров элементов, которые будут воздействовать на конструкцию, рассчитывается линейная нагрузка.

Например, если размеры плиты перекрытия 1200(a) на 990(b) мм и ее массе в 400 кг (m), распределение напряжения будет определяться по формуле:

(а/1000)*(b/1000)=c Qраспр. = m/c

Для нашего случая, расчет будет выглядеть следующим образом:

  • с = 1200/1000 * 990/1000 = 1,2 * 0,99 = 1,188 м2
  • Q распределенная = 400/1,188 = 336,7 = 337 кгс/м2

Помимо этого, для запаса прочности учитываются еще две нагрузки - дополнительная (80 кгс/м2), возникающая от массы перегородок, и временная (200 кгс/м2), которая может возникнуть из-за порывов ветра или оседания большого слоя снежного покрова.

Таким образом, общая нагрузка, равномерно распределенная по площади, будет равна сумме этих трех составляющих: Qобщ. = 337 + 80 + 200 = 617 кгс/м2.

Линейная нагрузка q = 617/100 = 6,17 кгс/см.

Далее вычисляется значение момента, который действует на балку, стремясь ее согнуть. Для этого потребуется полученная величина q, расстояние расположения балок Н и длина пролета, который перекрывает балка - l. Например, при размерах прямоугольного сечения 6 на 4 м, где должны располагаться балки перекрытий, и, так как они укладываются вдоль короткого края, расстояние l будет равно 4 метрам, или 400 сантиметрам (сама опора при этом будет немного больше, ее длина составит около 4,5 метров).

При выбранном шаге (Н) укладки деревянных балок в 0,9 метра, формула определения максимального момента изгиба будет выглядеть так: Ммах. = (Qобщ.* H * l^2) / 8 = (617 * 0,9 * 4^2) / 8 = 1110,6 кг на метр = 111000 кгс/м.

Необходимый момент сопротивления деревянного перекрытия определяется по формуле: Мсопр. = Ммах/S, где S - расчетное сопротивление, прочность древесины, из которой изготовлена балка.

Например, для одного вида древесины S составляет 16 МПа или 160 кгс /см^2.

Следовательно: Мсопр. = 111000 / 160 = 694 см3.

Если известна ширина деревянной балки, можно определить ее высоту. При этом желательно достичь наиболее оптимального соотношения величин 1/1,4.

Так, например, при ширине 15 сантиметров, высота балки будет составлять: квадратный корень из (6 * Мсопр./15) = квадратный корень из 6 * 694 / 15 = 16,66 см.

Таким образом, необходимое сечение бруса для перекрытий равно 15*17 см.

При использовании для перекрытий балок из стали, необходимо учитывать сопротивление материала, которое различается в зависимости от марки стали. Например, при 2000 кгс/см2 наибольший момент сечения балки будет равен: Мбалки. = Ммах. / 2000 = 111000 / 2000 = 55,5 см3

Далее необходимо подобрать профиль двутавра с таким сопротивлением. Самым минимально допустимым размером в данном случае является двутавр N12 с моментом сопротивления 58,4 см3.

Расчет на жесткость

Прогиб балок
Следующим этапом расчетов является определение жесткости полученного материала, то есть максимальное изменение его положения (прогиба) от действия расчетных нагрузок.

При вычислении ориентируются на предельно допустимую величину, равную 1/250 от длины балки, и в нашем случае значение составляет 450/250 = 1,8 см.

Таким образом, прогиб определяют по формуле:

  • F = 5 * q * L^4 / (384 * E * Jy), где q = 6,17 - линейная нагрузка;
  • L = 500 сантиметров - длина расчетной балки, Е - модуль упругости (для стали) = 2,1 * 10,6^2, Jy - мин. момент инерции для данного двутавра (N12) = 350 см куб.

Следовательно: F = 5 * 6,17 * 500^4 / (384 * 2,1 * 10^6 * 350) = 6,83 см – это не соответствует максимально допустимому значению, поэтому мы берем следующий двутавр N14, для которого Jy = 572 см куб. и повторяем расчет, используя модуль и длину: F = 4,1 см, что тоже не подходит.

Таким образом, в данном случае подходит двутавр N 18 с моментом инерции 1290. Следовательно, макс. прогиб составит 1,85 см, что соответствует требуемым условиям.

Достичь необходимых значений можно не только увеличивая размер сечение в опорах, но и уменьшая шаг их расположения, увеличивая количество, а также с помощью использования более качественного материала с большим значением модуля упругости для их изготовления.

Однако, какими бы ни были данные расчетов, выбор конечного варианта всегда должен соответствовать требованиям строительных норм и правил, а при неуверенности в правильности полученных данных, лучше использовать современные онлайн калькуляторы либо услуги конструкторских бюро.

Главная особенность и сложность работы с автоматическими программами расчета заключается в необходимости правильного ввода в калькулятор исходных данных.
То есть, по сути, калькулятор лишь выполняет математические вычисления, в которых используются те же самые формулы, что были описаны выше.

Определение угла поворота через прогиб

Балки при строительстве дома

При решении задач проектирования зданий и сооружений, помимо основных параметров нагружаемых балок – величины прогиба и жесткости, которые определяются по своим индивидуальным формулам в зависимости от целого ряда условий, немаловажное значение может иметь и угол поворота балки, то есть поворот ее сечения под действием внешних нагрузок.

Балки для крыши

Для облегчения задачи нахождения искомого момента, была установлена зависимость угла поворота от величины прогиба.

Иными словами, угол прогиба перекрытия равен углу, который образует касательная к упругой линии изгиба балки с горизонтальной плоскостью.
То есть чем больше прогиб опоры, тем на больший угол поворачивается ее сечение.

Однако, при нагрузках, которые не выходят за пределы упругих деформаций в опорах, то есть в случае грамотного подбора материала и количества балочных перекрытий, прогиб является незначительной величиной по сравнению с размерами сечения балки. Угол поворота в этом случае не превышает 0,1 - 0,15 радиан, что делает нецелесообразным его точное определение, которое достаточно сложно поддается вычислению для технически неподготовленного человека.

Балки для строительства крыши